目 录

第2版序言I

序言 我为什么要写这本书III第1章 引论： 数学是什么1

  1.1 万物皆数说3

  1.2 符号说5

  1.3 哲学说6

  1.4 科学说7

  1.5 逻辑说8

  1.6 集合说8

  1.7 结构说9

  1.8 模型说11

  1.9 工具说13

  1.10 直觉说14

  1.11 精神说14

  1.12 审美说15

  1.13 活动说 16

  1.14 艺术说16

第2章 数学文化的学科体系18

  2.1 数学文化的“元”概念18

  2.2 数学文化的“三元结构”22

2.2.1 自在价值(概念)22

2.2.2 工具价值(方法)24

2.2.3 应用价值(模型)25

  2.3 数学文化的外延性26

2.3.1 数学与文学27

2.3.2 数学与史学29

2.3.3 数学与哲学30

2.3.4 数学与经济30

2.3.5 数学与语言31

2.3.6 数学与高科技34

目录目录

第3章 数学文化的哲学观37

  3.1 数学文化的哲学思维38

3.1.1 抽象思维38

3.1.2 逻辑思维43

3.1.3 形象思维46

3.1.4 直觉思维49

  3.2 数学文化的对思维52

3.2.1 宏观与微观52

3.2.2 抽象与具体53

3.2.3 证明与非证明54

3.2.4 有限与无限59

3.2.5 先天知识与后天经验62

3.2.6 必然性和偶然性63

3.2.7 量变与质变66

第4章 数学文化的社会观70

  4.1 数学文化的社会化功能70

4.1.1 作为社会资源的功能70

4.1.2 作为符号的功能（语言）72

4.1.3 作为模型的功能（结构）79

  4.2 数学文化是先进生产力90

4.2.1 数学文化与信息传播90

4.2.2 数学文化与和谐社会97

4.2.3 数学文化与效益最大化100

4.2.4 数学文化与科技转化105

4.2.5 数学文化与可持续发展109第5章 数学文化的方法论113

  5.1 数学文化的辩证法113

5.1.1 具体与抽象113

5.1.2 演绎与归纳118

5.1.3 发现与证明123

5.1.4 分析与综合128

  5.2 数学文化的一般方法130

5.2.1 类比法130

5.2.2 归纳法132

5.2.3 化归法134

5.2.4 约定法137

5.2.5 迭代法138

5.2.6 论证法140

5.2.7 逐步逼近法144第6章 数学文化的美学观146

  6.1 审美与数学文化147

6.1.1 数学美的评价尺度147

6.1.2 美是数学家的重要素质148

  6.2 数学美的实质150

  6.3 数学中的和谐美150

6.3.1 统一美151

6.3.2 协调美158

6.3.3 对称美164

  6.4 数学中的符号美171

  6.5 数学中的奇异美177

6.5.1 关于形“奇”177

6.5.2 关于意义“奇”182

6.5.3 关于数字“奇”185第7章 数学文化的创新观191

  7.1 数学文化的原创性特点191

  7.2 数学对其他新兴学科的支撑作用200

7.2.1 数学与爱因斯坦的相对论200

7.2.2 数学与麦克斯韦方程组201

7.2.3 数学与量子力学202

7.2.4 数学成就了牛顿203

  7.3 数学创新的基本方法206

7.3.1 关于扩张法206

7.3.2 关于发现法211

7.3.3 科学发现的精神状态217

  7.4 怎样实现数学的创新219

7.4.1 善于观察219

7.4.2 勤于思考221

7.4.3 大胆想象222

7.4.4 持之以恒223

7.4.5 保持良好的创造欲望224第8章 简明数学思想史227

  8.1 5000年数学走过四段路227

8.1.1 第一阶段（公元前30世纪-公元前6世纪）227

8.1.2 第二阶段(公元前5世纪-公元16世纪)231

8.1.3 第三阶段(17-19世纪)243

8.1.4 第四阶段(19世纪下半叶至今)252

  8.2 数学史上的四次思想解放266

8.2.1 承认“无理数”是第一次思想解放266

8.2.2 微积分的产生是第二次思想解放267

8.2.3 非欧几何的诞生是第三次思想解放269

8.2.4 罗素悖论引出的数学基础研究是第四次思想解放271

附录 数学猜想一览表274

主要参考文献286

后记287